已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆离心率为

Question

已知椭圆 (x2)/(a2)+ (y2)/(b2)=1(a>b>0)的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线与椭圆交于A，B两点，若△F₁AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆离心率为___．

Answer 1

如图所示，
设|AF₁|=m，则|AF₂|=2a-m，|BF₂|=2m-2a，|BF₁|=4a-2m，
∵△F₁AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴m²+（2a-m）²=4c²，
m²+m²=（4a-2m）²，
联立解得：m=（4-2√(2)）a，e²=9-6√(2)，
解得e=√(6)-√(3)．
故答案为：√(6)-√(3)．