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如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠BAD=60°.动点E、F分别从点B、D同时出发,以1cm/s的速度向点A、C运动,连接AF、CE,取AF、CE的中点G、H,连接GE、FH.设运动的时间为ts(0<t<4).(1)求证:A
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如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠BAD=60°.动点E、F分别从点B、D同时出发,以1cm/s的速度向点A、C运动,连接AF、CE,取AF、CE的中点G、H,连接GE、FH.设运动的时间为ts(0<t<4).
(1)求证:AF∥CE;
(2)当t为何值时,四边形EHFG为菱形;
(3)试探究:是否存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.
(1)求证:AF∥CE;
(2)当t为何值时,四边形EHFG为菱形;
(3)试探究:是否存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:
∵动点E、F同时运动且速度相等,
∴DF=BE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AD=BC,AB∥DC,
在△ADF与△CBE中,
,
∴△ADF≌△CBE,
∴∠DFA=∠BEC,
∵AB∥DC,
∴∠DFA=∠FAB,
∴∠FAB=∠BEC,
∴AF∥CE;
(2)过D作DM⊥AB于M,连接GH,EF,
∴DF=BE=t,
∵AF∥CE,AB∥CD,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵G、H是AF、CE的中点,
∴GH∥AB,
∵四边形EGFH是菱形,
∴GH⊥EF,
∴EF⊥AB,∠FEM=90°,
∵DM⊥AB,
∴DM∥EF,
∴四边形DMEF是矩形,
∴ME=DF=t,
∵AD=4,∠DAB=60°,DM⊥AB,
∴AM=
AD=2,
∴BE=4-2-t=t,
∴t=1,
(3)不存在,假设存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,
∵四边形EHFG为矩形,
∴EF=GH,
∴EF2=GH2,
即(2-2t)2+(2
)2=(4-t)2,
解得t=0,0<t<4,
∴与原题设矛盾,
∴不存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形.
∵动点E、F同时运动且速度相等,
∴DF=BE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AD=BC,AB∥DC,
在△ADF与△CBE中,
|
∴△ADF≌△CBE,
∴∠DFA=∠BEC,
∵AB∥DC,
∴∠DFA=∠FAB,
∴∠FAB=∠BEC,
∴AF∥CE;
(2)过D作DM⊥AB于M,连接GH,EF,
∴DF=BE=t,
∵AF∥CE,AB∥CD,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵G、H是AF、CE的中点,
∴GH∥AB,
∵四边形EGFH是菱形,
∴GH⊥EF,
∴EF⊥AB,∠FEM=90°,
∵DM⊥AB,
∴DM∥EF,
∴四边形DMEF是矩形,
∴ME=DF=t,
∵AD=4,∠DAB=60°,DM⊥AB,
∴AM=
1 |
2 |
∴BE=4-2-t=t,
∴t=1,
(3)不存在,假设存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,
∵四边形EHFG为矩形,
∴EF=GH,
∴EF2=GH2,
即(2-2t)2+(2
3 |
解得t=0,0<t<4,
∴与原题设矛盾,
∴不存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形.
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