如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为点F．（1）如果AB=AD，求证：EF∥BD；（2）如果EF∥BD，求证：AB=AD．

Question

如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为点F．

（1）如果AB=AD，求证：EF∥BD；
（2）如果EF∥BD，求证：AB=AD．

Answer 1

证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中
∵

∠AEB=∠AFD

∠ABE=∠ADF

AB=AD

，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF，
∴(BE)/(BC)=(DF)/(DC)，
∴EF∥BD；

（2）∵EF∥BD，
∴(BE)/(DF)=(BC)/(DC)，
∵∠ABF=∠ADF，∠AEB=∠AFD，
∴△ABE∽△ADF，
∴(BE)/(DF)=(AB)/(AD)，
∴(BC)/(DC)=(AB)/(AD)，
∴AD×BC=AB×DC，
∴AB²=AD²，
∴AB=AD．