如图所示，一个四分之三圆弧光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于

Question

如图所示，一个四分之三圆弧光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点，将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．
（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何？
（2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的高度范围是多少？
（3）欲使小球通过C点对管无作用力，则小球落地时的速度与水平方面夹角的正切值是多少？

Answer 1

（1）小球离开C点做平抛运动，
  竖直方向：R=(1)/(2)gt²
  水平方向：R=v₁t  
联立解得，v₁=√((1)/(2)gR)
 设小球以v₁经过C点受到管对它的竖直向上的作用力为F_N，有：
   mg-F_N=m(v12)/(R)
解得：F_N=mg-m(v12)/(R)=(mg)/(2)
由牛顿第三定律可知，小球对管作用力的大小为(1)/(2)mg，方向竖直向下．
（2）小球由静止释放的高度最大时，小球运动的水平位移为4R，打到N点．设能够落到N点的水平速度为v₂，有：
  v₂=(4R)/(t)＝√(8gR)
设小球离A点的最大高度为H₂，根据机械能守恒定律可知：
  mg（H₂-R）=(1)/(2)mv22
解得：H₂=(v22)/(2g)+R=5R             
同理：设小球离A点的最小高度为H₁，有
  mg（H₁-R）=(1)/(2)mv₁²
解得：H₁=(5)/(4)R                  
因此小球的释放点离A点的高度H满足的条件：(5)/(4)R≤H≤5R．
（3）小球通过C点对管无作用力，则vC＝√(gR)，
则