过点A（2，1）作曲线f（x）=x3-x的切线的条数最多是（）A.3B.2C.1D.0

Question

过点A（2，1）作曲线f（x）=x³-x的切线的条数最多是（　　）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0

Answer 1

设设切点为P（x0，x03−x0），
则f′(x0)＝3x02−1，
则切线方程y−x03+x0＝(3x02−1)(x−x0)，
代入A（2，1）得，2x03−6x02+3＝0．
令y＝2x03−6x02+3，则y′＝6x02−12x0．
由y′=0，得x₀=0或x₀=2，
且当x₀=0时，y=3＞0，x₀=2时，y=-5＜0．
所以方程2x03−6x02+3＝0有3个解，
则过点A（2，1）作曲线f（x）=x³-x的切线的条数是3条．
故选A．