设函数f（x）=aexlnx+bex-1x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x-1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．

Question

设函数f（x）=ae^xlnx+(bex-1)/(x)，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x-1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=aexlnx+(a)/(x)•ex-(b)/(x2)•ex-1+(b)/(x)•ex-1，
由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，
故a=1，b=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e^xlnx+(2)/(x)•ex-1，
从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe^-x-(2)/(e)，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，
∴当x∈（0，(1)/(e)）时，g′（x）＜0；当x∈（(1)/(e)，+∞）时，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，(1)/(e)）上单调递减，在（(1)/(e)，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（(1)/(e)）=-(1)/(e)．
设函数h（x）=xe^-x-(2)/(e)，则h′（x）=e^-x（1-x）．
∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=-(1)/(e)．
综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．