设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=1x，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与g(1x)的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使

Question

设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=(1)/(x)，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论g（x）与g((1)/(x))的大小关系；
（Ⅲ）是否存在x₀＞0，使得|g（x）-g（x₀）|＜(1)/(x)对任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范围；若不存在请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由题设易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+1x，∴g′（x）=x−1x2，令g′（x）=0，得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1），当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区...