已知函数f（x）=lnx-1x，g（x）=ax+b．（1）若a=2，F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx-1x图象的切线，求a+b的最小值．

Question

已知函数f（x）=lnx-(1)/(x)，g（x）=ax+b．
（1）若a=2，F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx-(1)/(x)图象的切线，求a+b的最小值．

Answer 1

（1）a=2时，F（x）=f（x）-g（x）=lnx-(1)/(x)-2x-b，
F′（x）=(1)/(x)+(1)/(x2)-2，（x>0），
F′（x）=((1-x)(1+2x))/(x)，
令F′（x）>0，解得：0<x<1，
令F′（x）<0，解得：x>1，
故F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（2）：设切点（m，lnm-(1)/(m)），函数f（x）=lnx-(1)/(x)的导数为f′（x）=(1)/(x)+(1)/(x2)，
即有切线的斜率为(1)/(m)+(1)/(m2)，
若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx-(1)/(x)图象的切线，
则a=(1)/(m)+(1)/(m2)，lnm-(1)/(m)=ma+b，
即有b=lnm-(2)/(m)-1，
a+b=lnm-(1)/(m)+(1)/(m2)-1，
令(1)/(m)=t>0，则a+b=-lnt-t+t²-1，
令a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，
则φ′（t）=-(1)/(t)+2t-1=((2t+1)(t-1))/(t)，
当t∈（0，1）时，φ'（t）<0，φ（t）在（0，1）上单调递减；
当t∈（1，+∞）时，φ'（t）>0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增．
即有t=1时，φ（t）取得极小值，也为最小值．
则a+b=φ（t）≥φ（1）=-1，
故a+b的最小值为-1．