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若正项级数an收敛,证明an^2也收敛,又若an收敛,但它不是正项级数,那么结论又如何
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若正项级数an收敛,证明an^2也收敛,又若an收敛,但它不是正项级数,那么结论又如何
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答案和解析
lim(n→＋∞)(an)^2/an=lim(n→＋∞)an=0,所以(an)^2收敛.如果an不是正项级数,(an)^2可能收敛,也可能不收敛；收敛例:级数1-1/2＋1/3-1/4＋...收敛于ln2,级数1^2＋(1/2)^2＋(1/3)^2＋...＜2,也收敛；发散例:级数1-1/√2＋1/√3-.,根据莱卜尼兹准则可知,该级数收敛,但级数1^2＋(-1/√2)^2＋(1/√3)^2＋...=1＋1/2＋1/3＋...却是发散的.
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