求问,如何用计数原理证明：A(m,n)+mA[(m-1),n]=A[m,(n+1)]m和n的位置分别为上和下~由于电脑打不出来,所以只能这么表示了~另外,我知道这道证明题的排列数公式的证法,但正如题设所说,该怎样用

Question

求问,如何用计数原理证明：A(m,n) +mA[(m-1),n]= A[m,(n+1)] m和n的位置分别为上和下~
由于电脑打不出来,所以只能这么表示了~另外,我知道这道证明题的排列数公式的证法,但正如题设所说,该怎样用计数原理解释这个等式呢?

Answer 1

既然楼主想要用计数原理来证明排列恒等式,那么需要搞清楚每一项排列数的含义是什么.
证明：将A[m,(n+1)] 考虑成：从(n+1)个球中取出m个球的排列数.将这(n+1)个球记成a1, a2, ..., a(n+1).则可以根据最后一个球取还是不取,分成两种情况：
（1）若不取最后一个球,则要取的m个球全都在前n个球,即a1, a2, ..., an当中,那么此时的排列数为：A(m,n)
（2）若最后一个球要取,那么还需要在前n个球中取(m-1)个球,与最后一个球进行排列,所以根据乘法原理,此时的排列数为：mA[(m-1),n]
最后根据加法原理,从(n+1)个球中取出m个球的排列数为：A(m,n)+mA[(m-1),n]
所以可以得出：A(m,n)+mA[(m-1),n]=A[m,(n+1)]
望采纳!有问题请追问!