（2011•广州一模）如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，∠ABC=120°，D是AB上一点，且D与A、B不重合，过B、C、D三点的⊙O交AC于点E，连接DE（1）证明：△ABC∽△AED；（2）设AD=x，CE=y，求y与x的函数关系

Question

（2011•广州一模）如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，∠ABC=120°，D是AB上一点，且D与A、B不重合，过 B、C、D三点的⊙O交AC于点E，连接DE
（1）证明：△ABC∽△AED；
（2）设AD=x，CE=y，求y与x的函数关系式和x的取值范围；
（3）当方程x²-mx+9=0只有整数根，AD的长是该方程的根时，求m的值和四边形BCED的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形BDEC内接于⊙O
∴∠AED=∠ABC
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB（3分）

（2）作CF⊥AB的延长线于F
已知∠ABC=120°，∠CBF=60°
在直角△BCF中，BF=BC•cos60°=3×(1)/(2)＝(3)/(2)，
CF=BC•sin60°=3×(√(3))/(2)＝(3√(3))/(2)
∴AF=AB+BF=5+(3)/(2)＝(13)/(2)
在直角△ACF中，AC＝√(AF2+CF2)＝7，（5分）
由△ADE∽△ACB知(AD)/(AC)＝(AE)/(AB)，即(x)/(7)＝(7−y)/(5)
∴y＝−(5)/(7)x+7（0＜x＜5）（7分）

（3）设方程x²-mx+9=0的两根为x₁和x₂且x₁和x₂是正整数，则x₁•x₁=9
∴x₁=9，x₂=1或x₁=x₂=3
又∵AD＜AB，AB=5∴AD=1或AD=3
①当AD=1时，m=x₁+x₂=10（8分）
∵△ABC∽△AED∴(AE)/(AB)＝(AD)/(AC)，(DE)/(BC)＝(AD)/(AC)
∴AE＝(AD•AB)/(AC)＝(5)/(7)，（9分）
AE＝(AD•AB)/(AC)＝(5)/(7)，DE＝(BC•AD)/(AC)＝(3)/(7)（10分）
作DG⊥AC于G
∵四边形BCED内接于⊙O
∴∠DEG=180°-∠CBD=180°-120°=60°
∴在Rt△DEG中DG=DE•sin60°=

作业帮用户 2017-10-26 举报