如图．将两块完全一样的透明等腰直角角形板ABC、DEF按如图所示的方式放置，使点D落在线段AB的中点处，直角边DE与直角边AC相交于点K，斜边DF与直角边相交于点G，连接KG．（1）求证：△ADK

Question

如图．将两块完全一样的透明等腰直角角形板ABC、DEF按如图所示的方式放置，使点D落在线段AB的中点处，直角边DE与直角边AC相交于点K，斜边DF与直角边相交于点G，连接KG．

（1）求证：△ADK∽△BGD．
（2）求证：△ADK∽△DGK．
（3）若AC=BC=8，KG=x，△DGK的面积为y，请求出y与x的函数表达式．（不需要写出x的取值范围）

Answer 1

（1）证明：∵∠KAD=∠KDG=∠B=45°，∠KAD+∠BDG=135°，∠DGB+∠BDG=135°，
∴∠KAD=∠DGB，
∴△ADK∽△BGD；
（2）证明：∵△ADK∽△BGD，
∴(AK)/(BD)=(KD)/(DG)，
∵D为AB的中点，
∴BD=AD，
∴(AK)/(AD)=(KD)/(DG)，即(AK)/(KD)=(AD)/(DG)，
∵∠KAD=∠KDG=45°，
∴△AKD∽△DKG；
（3） 如图所示：过D作AC，KG的垂线，垂足分别为M，N，

∵KD平分∠AKG，
∴∠MKD=∠NKD，
在△MKD和△NKD中，

∠DMK=∠DNK

∠MKD=∠NKD

KD=KD

，
∴△MKD≌△NKD（AAS），
∴DM=DN，
∵D为AB的中点，∠KAD=45°，
∴AM=DM=(1)/(2)AC=4，
∴DN=4，
∴S_△DKG=(1)/(2)×DN×KG=(1)/(2)×4×x=2x，即y=2x（8√(2)-8≤x≤8√(3)-8）．