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用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.已知:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.求证:CD=12AB.证法1:如图2,在∠ACB的内部
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用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
已知:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.
求证:CD=
AB.
证法1:如图2,在∠ACB的内部作∠BCE=∠B,
CE与AB相交于点E.
∵∠BCE=∠B,
∴___.
∵∠BCE+∠ACE=90°,
∴∠B+∠ACE=90°.
又∵___,
∴∠ACE=∠A.
∴EA=EC.
∴EA=EB=EC,
即CE是斜边AB上的中线,且CE=
AB.
又∵CD是斜边AB上的中线,即CD与CE重合,
∴CD=
AB.
请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.
已知:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.
求证:CD=
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证法1:如图2,在∠ACB的内部作∠BCE=∠B,
CE与AB相交于点E.
∵∠BCE=∠B,
∴___.
∵∠BCE+∠ACE=90°,
∴∠B+∠ACE=90°.
又∵___,
∴∠ACE=∠A.
∴EA=EC.
∴EA=EB=EC,
即CE是斜边AB上的中线,且CE=
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又∵CD是斜边AB上的中线,即CD与CE重合,
∴CD=
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请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.
▼优质解答
答案和解析
证法1:如图2,在∠ACB的内部作∠BCE=∠B,
CE与AB相交于点E.
∵∠BCE=∠B,
∴EC=EB,
∵∠BCE+∠ACE=90°,
∴∠B+∠ACE=90°.
又∵∠A+∠B=90°,
∴∠ACE=∠A.
∴EA=EC.
∴EA=EB=EC,
即CE是斜边AB上的中线,且CE=
AB.
又∵CD是斜边AB上的中线,即CD与CE重合,
∴CD=
AB.
故答案为:EC=EB;∠A+∠B=90°;
证法2:延长CD至点E,使得DE=CD,连接AE、BE.如图3所示:
∵AD=DB,DE=CD.
∴四边形ACBE是平行四边形.
又∵∠ACB=90°,
∴四边形ACBE是矩形.
∴AB=CE,
又∵CD=
CE,
∴CD=
AB.
CE与AB相交于点E.
∵∠BCE=∠B,
∴EC=EB,
∵∠BCE+∠ACE=90°,
∴∠B+∠ACE=90°.
又∵∠A+∠B=90°,
∴∠ACE=∠A.
∴EA=EC.
∴EA=EB=EC,
即CE是斜边AB上的中线,且CE=
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又∵CD是斜边AB上的中线,即CD与CE重合,
∴CD=
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故答案为:EC=EB;∠A+∠B=90°;
证法2:延长CD至点E,使得DE=CD,连接AE、BE.如图3所示:
∵AD=DB,DE=CD.
∴四边形ACBE是平行四边形.
又∵∠ACB=90°,
∴四边形ACBE是矩形.
∴AB=CE,
又∵CD=
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