如图，△ABC中，BC=30，高AD=18，作矩形PQRS，使得P、S分别落在AB、AC边上，Q、R落在BC边上．（1）求证：△APS∽△ABC；（2）如矩形PQRS是正方形，求它的边长；（3）如AP：PB=1：2，求矩形PQRS的面

Question

如图，△ABC中，BC=30，高AD=18，作矩形PQRS，使得P、S分别落在AB、AC边上，Q、R落在BC边上．
（1）求证：△APS∽△ABC； 
（2）如矩形PQRS是正方形，求它的边长；
（3）如AP：PB=1：2，求矩形PQRS的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形PQRS是矩形，
∴PS∥QR，
即PS∥BC，
∴△APS∽△ABC；

（2）∵四边形PQRS是正方形，
∴PS=PQ=SR，PS∥QR，
∵AD是△ABC得高，
即AD⊥BC，
∴AM⊥PS，
即AM是△APS的高，
∵△APS∽△ABC，
∴(PS)/(BC)＝(AM)/(AD)，
设PS=x，
∵BC=30，高AD=18，
∴AM=18-x，
∴(x)/(30)＝(18−x)/(18)，
解得：x=(45)/(4)，
∴它的边长为：(45)/(4)；

（3）∵四边形PSRQ是矩形，
∴PQ⊥QR，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴PQ∥AD，
∴△PBQ∽△ABD，
∴PQ：AD=BP：BA，
∵AP：PB=1：2，
∴PQ=(2)/(3)AD=(2)/(3)×18=12，
∵△APS∽△ABC，
∴PS：BC=AP：AB=1：3，
∴PS=(1)/(3)BC=10，
∴矩形PQRS的面积为：PS•PQ=10×12=120．