已知一焦点在x轴上，中心在原点的双曲线的实轴等于虚轴，且图象经过点2，3．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线y=kx+1与该双曲线只有一个公共

Question

已知一焦点在x轴上，中心在原点的双曲线的实轴等于虚轴，且图象经过点

2，

3

．
（1）求该双曲线的方程；
（2）若直线y=kx+1与该双曲线只有一个公共点，求实数k的值．

Answer 1

（1）∵a=b，∴所求圆锥曲线为等轴双曲线．
∴设双曲线方程为 (x2)/(a2) -(y2)/(a2) =1

a＞0

，
∵图象经过点

2，

3

，∴ (22)/(a2) -(32)/(a2) =1 ，解得a=1，
∴所求双曲线方程为x ² -y ² =1；
（2）由

y=kx+1

x 2 - y 2 =1

⇒( k 2 -1) x 2 +2kx+2=0 ，

(1)当 k 2 =1时，k=±1，直线与双曲线的渐近线平行，

∴直线与双曲线有一个交点．

(2)当 k 2 ≠1时，△=4 k 2 -8( k 2 -1)=0

⇒ k 2 =2⇒k=±

2

，

，
∴ k=-1、1、

2

、-

2

，直线与双曲线有一个公共点 ．