已知向量a=（1,cosa）,向量b=（1,sinb）,向量c=（3,1）且（向量a+向量b）平行于向量c（1）若a=π/3,求cos2b（2）求证,若不存在a使等式向量a+向量c的绝对值=向量a-向量c的绝对值成立（3）求向量b乘

Question

已知向量a=（1,cosa）,向量b=（1,sinb）,向量c=（3,1）且（向量a+向量b）平行 于向量c
（1）若a=π/3,求cos2b
（2）求证,若不存在a使等式向量a+向量c的绝对值=向量a-向量c的绝对值成立
（3）求向量b乘向量c-向量a的²的最小值

Answer 1

a+b=(2,cosa+sinb),
由(a+b)∥c得2/3=cosa+sinb,
(1)a=π/3,∴2/3+1/2+sinb,sinb=1/6,
cos2b=1-2(sinb)^2=1-1/18=17/18.
(2)|a+c|=|a-c|,<==>a^2+2ac+c^2=a^2-2ac+c^2,<==>ac=0,
但是,ac=3+cosa>0,矛盾.
(3)bc-a^2=3+sinb-[1+(cosa)^2]=2+sinb-(cosa)^2,
当cosa=土1,sinb=-1时它取最小值0.