在△ABC中,向量OC=1/4OA向量,OD向量=1/2OB向量,AD与BC交于M点,设OA向量=α,OB向量=b.(1)用α,b表示向量OM（2）在已知线段AC向量上取一点E,在线段BD向量上取一点F,使EF过点M.设向量OE=p向量OA,向量OF=q向量

Question

在△ABC中,向量OC=1/4OA向量,OD向量=1/2OB向量,AD与BC交于M点,设OA向量=α,OB向量=b.
(1)用α,b表示向量OM （2）在已知线段AC向量上取一点E,在线段BD向量上取一点F,使EF过点M.设向量OE=p向量OA,向量OF=q向量OB.求证：1/（7p)+3/(7q)=1

Answer 1

（1）∵A、M、D三点共线,∴向量OM=μ向量OA+(1-μ)向量OD
∵B、M、C三点共线,∴向量OM=λ向量OC+(1-λ)向量OB
已知向量OC=1/4向量OA,向量OD=1/2向量OD,联立两个方程,即
λ/4=μ,1-λ=(1-μ)/2,解得λ=4/7,μ=1/7,所以向量OM=1/7向量a+3/7向量b.
（2）∵E、M、F三点共线,则向量OM=m向量OE+n向量OF,其中m+n=1.
又∵向量OE=p向量OA,向量OF=q向量OB,所以得mp=1/7,nq=3/7.
因为m=1/7p,n=3/7q,所以m+n=1/7p+3/7q=1