4、在三角形ABC中,OC向量=1/4OA向量,OD向量=1/2OB向量,AD与BC交于M点,设OA向量=a向量,OB向量=b向量（1）用a向量、b向量表示OM向量（2）在已知线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设OE向量=

Question

4、在三角形ABC中,OC向量=1/4OA向量,OD向量=1/2OB向量,AD与BC交于M点,设OA向量=a向量,OB向量=b向量
（1） 用a向量、b向量表示OM向量
（2） 在已知线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设OE向量=pOA向量,OF向量=qOB向量,求证：1/7p+3/7q=1

Answer 1

向量两字略去,直接用字母表示向量.
（1）、AB=A0+OB=-a+b；
AD=AO+OD=-a+(1/2)b ① ;
BC=0C+BO=(1/4)a-b ②
由①和②得a=-(8/7)AD-(4/7)BC,
b=-(2/7)AD-(8/7)BC;
AB=-a+b=(8/7)AD+(4/7)BC-(2/7)AD-(8/7)BC
=(6/7)AD-(4/7)BC
由于AD与BC交于M点,则AM=(6/7)AD,BM=(4/7)BC；
所以OM=OA+AM=a+(6/7)[-a+(1/2)b]=(1/7)a+(3/7)b
（2）、OE=pOA=pa,OF=qOB=qb,
EF=OF-OE=qb-pa,EM=OM-OE=(1/7)a+(3/7)b-pa=(1/7-p)a+(3/7)b
EFM三点共线,向量a,b不共线,
所以EF‖EM,则p*(3/7)=(-q)*(1/7-p),
即(1/7)*q+(3/7)*p=p*q
所以 1/(7p)+3/(7q)=1 .