21.某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是

Question

21.某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中

A 、 A ′是双曲线的顶点， C 、 C ′是冷却塔上口直径的两个端点， B 、 B ′是下底直径的两个端点.已知

AA ′＝14 m CC ′=18 m BB ′=22 m 塔高20 m.

(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程；

(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10 m ³ 塔壁厚度不计， 取3.14).

Answer 1

21.本小题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组等基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.

(Ⅰ)如图建立直角坐标系 xOy ， AA ′在 x 轴上， AA ′的中点为坐标原点 O ， CC ′与 BB ′平行于 x 轴.

设双曲线方程为 － ＝1( a >0 b >0) 则 a = AA ′=7.     　

又设 B (11， y ₁ ) C (9 y ₂ ) 因为点 B 、 C 在双曲线上，所以有

＝1，     ①

＝1.       ②

由题意知 y ₂ － y ₁ =20.         ③                                    

由①②③得 y ₁ =－12 y ₂ =8 b =7 .

故双曲线方程为 － =1.                                         

(Ⅱ)由双曲线方程得 x ² = y ² +49.

设冷却塔的容积为 V m ³ 则

V ＝ d y

  　 ＝ d y                                 

　＝ ( y ³ +49 y ) .

经计算得 V ＝4.25×10 ³ m ³ .

答：冷却塔的容积为4.25×10 ³ m ³ .