如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AC=AA1=4，∠E=60°，点B为DE中点．（1）求证：平面A1BC⊥平面A1ABB1．（2）求A1C与平面A1ABB1所成的角的正弦值．

Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AC=AA₁=4，∠E=60°，点B为DE中点．

（1）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（2）求A₁C与平面A₁ABB₁所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：根据已知条件知：∠EBA=60°，∠DBC=30°；
∴∠ABC=90°，即BC⊥AB；
又AA₁⊥底面ABC，BC⊂底面ABC；
∴AA₁⊥BC即BC⊥AA₁，AB∩AA₁=A；
∴BC⊥平面ABB₁A₁，BC⊂平面A₁BC；
∴平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）由（1）知BC⊥平面ABB₁A₁，∴∠CA₁B即是A₁C和平面ABB₁A₁所成的角，且△CA₁B是Rt△，∠CBA₁=90°；
由已知条件及（1）知：AB=2，AC=AA₁=4，∠ABC=∠A₁AC=90°，∴BC=√(12)，A1C＝√(32)；
∴sin∠CA1B＝(√(12))/(√(32))＝(√(6))/(4)．