如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=2．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与

Question

如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=√(2)．AD=2，BC=4，AA₁=2，E是DD₁的中点，F是平面B₁C₁E与直线AA₁的交点．

（1）证明：
（i）EF∥A₁D₁；
（ii）BA₁⊥平面B₁C₁EF；
（2）求BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）证明（i）∵C₁B₁∥A₁D₁，C₁B₁⊄平面ADD₁A₁，∴C₁B₁∥平面ADD₁A₁，
又C₁B₁⊂平面B₁C₁EF，平面B₁C₁EF∩平面ADD₁A₁=EF，
∴C₁B₁∥EF，∴EF∥A₁D₁；
（ii）∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴BB₁⊥B₁C₁，
又∵B₁C₁⊥B₁A₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
∴B₁C₁⊥BA₁，
在矩形ABB₁A₁中，F是AA₁的中点，tan∠A₁B₁F=tan∠AA₁B=(√(2))/(2)，即∠A₁B₁F=∠AA₁B，故BA₁⊥B₁F．
所以BA₁⊥平面B₁C₁EF；
（2） 设BA₁与B₁F交点为H，
连接C₁H，由（1）知BA₁⊥平面B₁C₁EF，所以∠BC₁H是BC₁与平面B₁C₁EF所成的角．
在矩形AA₁B₁B中，AB=√(2)，AA₁=2，得BH=(4)/(√(6))，
在RT△BHC₁中，BC₁=2√(5)，sin∠BC₁H=(BH)/(BC1)=(√(30))/(15)，
所以BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值是(√(30))/(15)．