已知数列{an}的首项是a1=1，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+3n+1（n∈N*）．（1）设bn=an+3（n∈N*），求数列{bn}的通项公式；（2）设cn=log2bn，若存在常数k，使不等式k≥cn−1(n+25)cn(n∈N*)恒成立，求k的最

Question

已知数列{a_n}的首项是a₁=1，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+3n+1（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+3（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=log₂b_n，若存在常数k，使不等式k≥(cn−1)/((n+25)cn)(n∈N*)恒成立，求k的最小值．

Answer 1

（1）∵S_n+1=2S_n+3n+1，
∴当n≥2时，S_n=2S_n-1+3（n-1）+1，两式相减得a_n+1=2a_n+3，从而b_n+1=a_n+1+3=2（a_n+3）=2b_n（n≥2），
∵S₂=2S₁+3+1，
∴a₂=a₁+4=5，可知b₂≠0．
∴bn≠0

 &(n≥2)

．
∴(bn+1)/(bn)＝2(n≥2)，又(b2)/(b1)＝(a2+3)/(a1+3)＝(8)/(4)＝2．
∴数列{b_n}是公比为2，首项为4的等比数列，
因此b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
（2）据（1）c_n=log₂b_n=log₂4×2^n-1=log₂2ⁿ⁺¹=n+1(cn−1)/((n+25)cn)＝(n+1−1)/((n+25)(n+1))＝(n)/((n+25)(n+1))=(1)/(n+(25)/(n)+26)≤(1)/(2×5+26)＝(1)/(36)，（当且仅当n=5时取等号）．
故不等式k≥(cn−1)/((n+25)cn)(n∈N*)恒成立，⇔k≥(1)/(36)．