已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=2，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，求数列{1Sn}的前n项和Tn．

Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{(1)/(Sn)}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
由题意得a22＝a1a4，即(a1+d)2＝a1(a1+3d)，
∴（2+d）²=2（2+3d），解得 d=2，或d=0（舍），
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn＝na1+(n(n−1))/(2)d＝2n+n(n−1)＝n2+n，
∴(1)/(Sn)＝(1)/(n2+n)＝(1)/(n(n+1))=(1)/(n)−(1)/(n+1)．
则Tn＝(1)/(S1)+(1)/(S2)+…+(1)/(Sn)
=(1−(1)/(2))+((1)/(2)−(1)/(3))+…+((1)/(n)−(1)/(n+1))
=1−(1)/(n+1)=(n)/(n+1)，
所以数列{(1)/(Sn)}的前n项和Tn＝(n)/(n+1)．