设不等式组x+y+2≥0,x+ay+2≤0表示的区域为Ω1,不等式x²+y²≤1表示的区域为Ω2(1)若Ω1与Ω2有且只有一个公共点,求a的取值(2)记S(a)为Ω1与Ω2公共部分的面积,求函数S(a)的取值范围述您的问题

Question

设不等式组x+y+2≥0,x+ay+2≤0表示的区域为Ω1,不等式x²+y²≤1表示的区域为Ω2
(1)若Ω1与Ω2有且只有一个公共点,求a的取值
(2)记S(a)为Ω1与Ω2公共部分的面积,求函数S(a)的取值范围述您的问题

Answer 1

(1)原点到直线x+y+2=0的距离=2/√2=√2>1,
∴单位圆Ω2与直线x+y+2=0相离,
直线x+y+2=0与x+ay+2=0都过点M(-2,0),
Ω1与Ω2有且只有一个公共点,
单位圆Ω2与直线x+ay+2=0相切,切点在Ω1中,
2/√(1+a^2)=1,1+a^2=4,a^2=3,a=土√3.
把x=干√3y-2代入x^2+y^2=1,得4y^2土4√3y+3=0,y=干√3/2,
相应的x=-1/2,
切点A(-1/2,干√3/2)满足x+y+2>=0,∴A在Ω1中,∴a=土√3.
(2)当a^2>3,即a>√3或a