已知等比数列{an}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2-（t+bn）n+32bn=0（t∈R，n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）试确定t的值，使得数

Question

已知等比数列{a_n}的首项为a₁=2，公比为q（q为正整数），且满足3a₃是8a₁与a₅的等差中项；数列{b_n}满足2n²-（t+b_n）n+(3)/(2)b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列{b_n}为等差数列；
（3）当{b_n}为等差数列时，对任意正整数k，在a_k与a_k+1之间插入2共b_k个，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_n=2c_m+1的所有正整数m的值．

Answer 1

（1）因为6a₃=8a₁+a₅，所以6q²=8+q⁴，
解得q²=4或q²=2（舍），则q=2
又a₁=2，所以a_n=2ⁿ
（2）由2n²-（t+b_n）n+(3)/(2)b_n=0，得b_n=(2n2−tn)/(n−(3)/(2))，
所以b₁=2t-4，b₂=16-4t，b₃=12-2t，
则由b₁+b₃=2b₂，得t=3
而当t=3时，b_n=2n，由b_n+1-b_n=2（常数）知此时数列{b_n}为等差数列；
（3）因为c₁=c₂=c₃=2，易知m=1不合题意，m=2适合题意
当m≥3时，若后添入的数2等于c_m+1个，则一定不适合题意，
从而c_m+1必是数列{a_n}中的某一项a_k+1，
则（2+2²+2³+…+2^k）+2（b₁+b₂+b₃+…+b_k）=2×2^k+1，
即2×(2k−1)+((2+2k)k)/(2)×2＝2×2k+1，即2^k+1-2k²-2k+2=0．
也就是2^k=k²+k-1，
易证k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2ⁿ＞n²+n-1成立，证明如下：
1°当n=5时，2⁵=32，k²+k-1=29，左边＞右边成立；
2°假设n=k时，2^k＞k²+k-1成立，
当n=k+1时，2^k+1＞2k²+2k-2=（k+1）²+（k+1）-1+k²-k-3
≥（k+1）²+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）²+（k+1）-1+k+3（k-1）＞（k+1）²+（k+1）-1
这就是说，当n=k+1时，结论成立．
由1°，2°可知，2ⁿ＞n²+n-1（n≥5）时恒成立，故2^k=k²+k-1无正整数解．
综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．