已知数列{an}中,a1=2,n∈N+,an＞0,数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+1=2/[(Sn+1)+Sn-2],求Sn的通项公式

Question

已知数列{an}中,a1=2,n∈N+,an＞0,数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+1=2/[(Sn+1)+Sn-2],求Sn的通项公式

Answer 1

an>0,Sn>0
a(n+1)=2/[S(n+1)+Sn-2]
S(n+1) -Sn=2/[S(n+1)+Sn -2]
去分母,整理得
S(n+1)²-2S(n+1)-Sn²+2Sn=2
S(n+1)²-2S(n+1)+1 -Sn²+2Sn-1=2
[S(n+1) -1]² -(Sn -1)²=2
(S1-1)²=(a1-1)²=(2-1)²=1²=1
数列{(Sn -1)²}是以1为首项,2为公差的等差数列.
(Sn -1)²=1+2(n-1)=2n-1
Sn=1-√(2n-1) (≤0,舍去)或Sn=1+√(2n-1)
数列{Sn}的通项公式为Sn=1+√(2n-1).