已知数列{an}的前n项和Sn=2的n次方,数列{bn}满足b1=-1,b(n+1)=bn+(2n-1)(n=1,2,3…）1.求数列{an}的通项an2.求数列{bn}的通项bn3.若cn=an`bn/n,求数列{cn}的前n项和Tn

Question

已知数列{an}的前n项和Sn=2的n次方,数列{bn}满足b1=-1,b(n+1)=bn+(2n-1)(n=1,2,3…）
1.求数列{an}的通项an 2 .求数列{bn}的通项bn 3.若cn=an`bn/n,求数列{cn}的前n项和Tn

Answer 1

1.
n=1时,a1=S1=2
n≥2时,an=Sn-S(n-1)=2ⁿ-2^(n-1)=2^(n-1)
n=1时,a1=2^0=1,不满足通项公式
数列{an}的通项公式为
an=2 n=1
2^(n-1) n≥2
2.
b(n+1)=bn+(2n-1)
b(n+1)-bn=2n-1
bn-b(n-1)=2(n-1)-1
b(n-1)-b(n-2)=2(n-2)-1
…………
b2-b1=2×1-1
累加
bn-b1=2×[1+2+...+(n-1)]-(n-1)=2n(n-1)/2 -(n-1)=n²-2n+1
bn=b1+n²-2n+1=-1+n²-2n+1=n²-2n
数列{bn}的通项公式为bn=n²-2n
3.
n=1时,
c1=a1·b1/1=2·(-1)/1=-2
T1=c1=-2
n≥2时,
cn=an·bn/n=2^(n-1)·(n²-2n)/n=2^(n-1)·n(n-2)/n=(n-2)·2^(n-1)
Tn=T1+c2+c3+...+cn=-2+(2-2)·2+(3-2)·2²+(4-2)·2³+...+(n-2)·2^(n-1)
=-2+0·2+1·2²+2·2³+...+(n-2)·2^(n-1)
2Tn=-4+0·2²+1·2³+...+(n-3)·2^(n-1)+(n-2)·2ⁿ
Tn-2Tn=-Tn=2+2²+2³+...+2^(n-1) -(n-2)·2ⁿ
=2·[2^(n-1) -1]/(2-1) -(n-2)·2ⁿ
=(3-n)·2ⁿ
Tn=(n-3)·2ⁿ