两个正整数数列满足：一个是以r(r>0)为公差的等差数列,一个是以q(q>1)为公比的等比数列,这里r,q是互质的正整数.证明：如果两个数列中有一项相同,则存在无穷多项相同.

Question

两个正整数数列满足：一个是以r(r>0)为公差的等差数列,一个是以q(q>1)为公比的等比数列,这里r,q是互质的正整数.证明：如果两个数列中有一项相同,则存在无穷多项相同.

Answer 1

我们可以这样想：
1.如果说两个数列有一项相同,我们设为a.
如果我证明了a 之后还至少有一项相同,那么就证明了有无穷项相同.

2.假设俩个数列有一项相同,该值为a.

3若r整除a,等差数列可以取到所有大于等于a的r的倍数,自然可以找到一项大于a,两数列都有.

4.若r不整除a,设a模r为t,0

追问：

找不到模r为t大于a的数啊，构造不出来

追答：

等比数列之后的r项可以看做(aq , aqq , aqqq , aqqq...q(r个q))
情况1. 这r项在除以r的情况下余数各不相同，那就说明了这r项取到了r的所有余数，自然当中就有除以r余数为t的项是不是？


情况2. 假设存在两项模r 同余，不妨设r整除（aqq..(m个q)）-(aqq..(n个q)) (1<=n由于r互质q,等价于r 整除（ a( qq..q ( m-n个q ) )-1）这说明aqqq...(m-n个q)这一项和a是同余的。

证毕。

作业帮用户 2016-11-27