设非负等差数列{a1}的公差d≠0,记Sn为数列{a1}的前n项和若a503≤1/1005,则{1/Sn}的前2007项和大于2008

Question

设非负等差数列{a1} 的公差d≠0,记Sn为数列{a1}的前n项和
若a503≤1/1005,则{1/Sn}的前2007项和大于2008

Answer 1

证明：等差数列通式为an=a1+(n-1)d,sn=n*a1+n(n-1)*d/2
则S{1/sn}(2007)=1/a1+1/(2a1+d)+1/(3a1+3d)+1/(4a1+6d)+...+1/(503a1+503*502/2*d)+...+
+1/(2007a+2007*2006/2*d)
为方便,我们将上面级数称为bn
我们现在证明b1+b2007>2b1004
推导过程太繁了,给你思路参考吧,可能不是最简方法.
共2007项,去掉中间项,都用两边对称的项相加,证明大于中间项.即证明：
1/((1004-k)a+(1004-k)(1003-k)d))+1/((1004+k)a+(1004+k)(1003+k)d))
>2/(1004a+1004*1003d),这里a为首项,d为公差.
过程中用1/p+1/q>2/(pq)^(1/2)>2/(1/2(p+q))^1/4
对不起,如有时间再做