已知在x轴上有一点列：P1（x1，0），P2（x2，0），P3（x3，0），…，Pn（xn，0），…，点Pn+2分有向线段PnPn+1所成的比为λ，其中n∈N*，λ＞0为常数，x1=1，x2=2．（1）设an=xn+1-xn，求数列{an}的通

Question

已知在x轴上有一点列：P₁（x₁，0），P₂（x₂，0），P₃（x₃，0），…，P_n（x_n，0），…，点P_n+2分有向线段

PnPn+1

所成的比为λ，其中n∈N^*，λ＞0为常数，x₁=1，x₂=2．
（1）设a_n=x_n+1-x_n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（λ）=

lim

n→∞

xn，当λ变化时，求f（λ）的取值范围．

Answer 1

（1）因为点P_n+2分有向线段

PnPn+1

所成的比为λ，
所以

PnPn+2

＝λ

Pn+2Pn+1

，即由定比分点坐标公式得x_n+2=(xn+λxn+1)/(1+λ)．
∵a₁=x₂-x₁=1，
因为a_n+1=x_n+2-x_n+1=(xn+λxn+1)/(1+λ)-x_n+1
=-(1)/(1+λ)（x_n+1-x_n）=-(1)/(1+λ)a_n，
∴(an+1)/(an)=-(1)/(1+λ)，即{a_n}是以a₁=1为首项，-(1)/(1+λ)为公比的等比数列．
∴a_n=（-(1)/(1+λ)）^n-1．
（2）∵x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1，
λ＞0，∴|-(1)/(1+λ)|＜1，

lim

n→∞

x n＝1+(1)/(1+(1)/(1+λ))＝(2λ+3)/(λ+2)（12分）
∴当λ＞0时，f（λ）=(2(λ+2)−1)/(λ+2)＝2−(1)/(作业帮用户2017-10-13扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)