设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且a1≥1，a24≥24，S12≤168，则a9-d2的取值范围是．

Question

设等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，且a₁≥1，a₂₄≥24，S₁₂≤168，则a₉-d²的取值范围是 ___ ．

Answer 1

将a₁看成d的函数，即y=a₁，x=d，则

y≥1

y+23x≥24

y+(11)/(2)x≤14

，即求y-x²+8x的范围．
作出不等式组对应的可行域如图，
则A（(4)/(7)，(76)/(7)），B（1，1），C（(26)/(11)，1），
y-x²+8x为区域上的点（x，y）到C的距离，
由图象可知在B处取得最小值，yB-(12-8×1)=8，
而直线y+(11x)/(2)=14上能取得最大值．
M=-(11)/(2)x+14-(x2-8x)=-x2+(5x)/(2)+14，x∈((4)/(7)，(26)/(11))，
M的对称轴为x=(5)/(4)，则x∈((4)/(7)，(26)/(11))，
对称轴上的点能取得最大值，即Mmax=-((5)/(4))2+(5)/(2)×(5)/(4)+14=(249)/(16)，
∴8≤y-(x2-8x)≤(249)/(16)，
故答案为：[8，(249)/(16)]