设z是虚数，ω=z+1z，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=1-z1+z，求证：u为纯虚数．

Question

设z是虚数， ω=z+(1)/(z) ，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设 u=(1-z)/(1+z) ，求证：u为纯虚数．

Answer 1

设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）
（1） ω=z+(1)/(z) =(x+(x)/(x2 + y2) )+(y-(y)/(x2 + y2) )i
∵-1＜ω＜2，∴ y-(y)/(x2 + y2) =0 ，
又∵y≠0，∴x ² +y ² =1即|z|=1
∵ -1＜x+(x)/(x2 + y2) ＜2⇒-1＜2x＜2 ，
∴ -(1)/(2) ＜x＜1
即z的实部的取值范围是 (-(1)/(2) ，1)
（2） u=(1-z)/(1+z) =((1-x-yi)(1+x-yi))/((1+x)2 + y2) =((1- x2 - y2 )-2yi)/((1+x)2 + y2)
∵x ² +y ² =1，∴ u=(-2y)/((1+x)2 + y2) i
又∵y≠0，
∴u是纯虚数．