已知数列（An）的首项a1=b（b不等于0）,他的前n项和Sn组成的数列（Sn）是一个公比为q的等比数列,|q|

Question

已知数列（An）的首项a1=b（b不等于0）,他的前n项和Sn组成的数列（Sn）是一个公比为q的等比数列,|q|

Answer 1

证明：
a1=s1
s2=qs1=qa2
=>sn=a1*q^(n-1)
an=sn-s(n-1)=a1*q^(n-1)-a1*q^(n-2)=a1*(q-1)*q^(n-2)
可见 公比为q (a1不算 a2开始)
wn=a1*a1+a2*a1q+a3*a1q^2+.an*a1*q^(n-1)
=a1^2+a1(q-1)*a1q+a1*q(q-1)*a1q^2+.a1*(q-1)*q^(n-2)*a1*q^(n-1)
=a1^2+a1^2*q*(q-1)+a1^2*(q-1)*q^3.a1^2*(q-1)*q^(2n-3)
=a1^2*(q-1)*(1+q+q^3+q^5.q^(2n-3))
其中q+q^3+q^5.q^(2n-3)是一个首相为q 公比为q^2数列
由于|q|无穷时 q+q^3+q^5.q^(2n-3)=q/(1-q^2)
代入得
limwn=a1^2*(q-1)*(1+q/(1-q^2)