已知等差数列{an}的前n和为Sn，公差d≠0．且a3+S5=42，a1，a4，a13成等比数列（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若Sn表示数列{an}的前n项和，求数列{1Sn}的前n项和Tn．

Question

已知等差数列{a_n}的前n和为S_n，公差d≠0．且a₃+S₅=42，a₁，a₄，a₁₃成等比数列
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n表示数列{a_n}的前n项和，求数列{(1)/(Sn)}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ） 设数列{a_n}的首项a₁…（1分）
因为等差数列{a_n}的前n和为S_n，a₃+S₅=42，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
所以

a1+2d+5a1+(5×4)/(2)d=42

(a1+3d)2=a1(a1+12d)

…（3分）
又公差d≠0所以a₁=3，d=2…（5分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+1…（6分）
（II）由（I）可得：S_n=(n(3+2n+1))/(2)=n（n+2）．
∴(1)/(Sn)=(1)/(2)((1)/(n)-(1)/(n+2))．
∴T_n=(1)/(2)[(1-(1)/(3))+((1)/(2)-(1)/(4))+((1)/(3)-(1)/(5))+…+((1)/(n-1)-(1)/(n+1))+((1)/(n)-(1)/(n+2))]
=(1)/(2)(1+(1)/(2)-(1)/(n+1)-(1)/(n+2))
=(3)/(4)-(2n+3)/(2(n+1)(n+2))．…（12分）