在平面直角坐标系xOy,已知圆c的圆心c(3,0）且过点(-1,-3).(1)求圆c的标准方程?(2)直线2x-y+a=0与圆心相交于A,B两点,且OA⊥OB(其中0为坐标原点)求实数a的值.

Question

在平面直角坐标系xOy,已知圆c的圆心c(3,0）且过点(-1,-3).(1) 求圆c的标准方程?(2)直线2x-y+a=0与圆心相交于A,B两点,且OA⊥OB(其中0为坐标原点)求实数a的值.

Answer 1

在平面直角坐标系xOy,已知圆c的圆心c(3,0）且过点(-1,-3). (1) 求圆c的标准方程?
(2)直线2x-y+a=0与圆心相交于A,B两点,且OA⊥OB(其中0为坐标原点)求实数a的值.
解:(1).园的半径r²=(3+1)²+3²=25,故园的方程为(x-3)²+y²=25；
(2).将直线方程y=2x+a代入园c的方程,得(x-3)²+(2x+a)²-25=5x²-(6-4a)x+a²-16=0；
设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)；则:
x₁+x₂=(6-4a)/5；x₁x₂=(a²-16)/5；
y₁y₂=(2x₁+a)(2x₂+a)=4x₁x₂+2a(x₁+x₂)+a²=4(a²-16)/5+2a(6-4a)/5+a²=(a²+12a-64)/5；
OA=(x₁,y₁)；OB=(x₂,y₂)；由于OA⊥OB,故有等式：
OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=(a²-16)/5+(a²+12a-64)/5=(2a²+12a-80)/5=0
即有a²+6a-40=(a+10)(a-4)=0,故得a₁=-10,a₂=4.