已知三棱锥p-abc,角acb=90,d为ab的中点,且三角形pdb为正三角形,pa垂直pc,求pa垂直平面pbc

Question

已知三棱锥p-abc,角acb=90,d为ab的中点,且三角形pdb为正三角形,pa垂直pc,求p
a垂直平面pbc

Answer 1

因为∠ACB=90°,CB=4,AB=20,所以AC=8√6
因为D为AB中点,△PDB为正三角形,所以BD=PD=PB=AB/2=10
因为PD=AB/2,所以△PAB为直角三角形（斜边中线等于斜边一半）,∠APB=90°
所以PA=10√3
又因为PA⊥PC,所以PC=2√21
由上述数量关系可得：PC²+BC²=PB²,所以△PBC为直角三角形,BC⊥PC
又因为BC⊥AC,
pa垂直平面pbc