矩形ABCD中,AB=6,BC=2根号3,沿对角线BD将三角形ABD向上折起,使点A移至点p,且p在平面BCD内的射影O在DC上,求1二面角P-DB-C的余弦值；2直线CD与平面PBD所成角的正弦值.

Question

矩形ABCD中,AB=6,BC=2根号3,沿对角线BD将三角形ABD向上折起,使点A移至点p,且p在平面BCD 内的射影O在DC上,求
【1】二面角P-DB-C的余弦值；
【2】直线CD与平面PBD所成角的正弦值.

Answer 1

【1】PO⊥平面BCD
CO即PC在平面BCD内的投影,连接BO
据已知,BP=CD=6,BC=PD=2√3
BD^2=PB^2+PD^2=BC^2+CD^2=36+12=48
BD=4√3
设PO=x,有,PD^2-x^2=OD^2.1)
PB^2-x^2-BC^2=(6-OD)^2.2)
解得：PO=2√2
所以,OC=√（36-8-12）=4
OD=2
过O作OE⊥BD于E,由于PO⊥平面BCD,则PO⊥BD
∴ BD⊥平面POE,BD⊥PE
∴ ∠PEO即为所求二面角P-DB-C
cos∠PEO=OE/PE
∵ RtΔOED∽RtΔBCD
则,OE:BC=OD:BD,OE=(OD/BD)*BC=1
PE^2=OE^2+PO^2=9,PE=3
cos∠PEO=OE/PE=1/3
【2】在RtΔOEP中,作OF⊥PE
∵ DE⊥平面PEO,即DE⊥OF
∴ OF⊥平面PDE（即平面PBD
∴ OF⊥FD
∠ODF=直线CD与平面PBD所成角
RTΔPEO中,OF⊥PE
1/OF^2=1/OE^2+1/OP^2
OF^2=OE^2*OP^2/(OE^2+OP^2)
=1*8/(1+8)=8/9
OF=2√2/3
sin∠ODF=OF/OD=√2/3