已知三棱锥P-ABC的底面是边长为2的正三角形,PA⊥底面ABC,H是PB中点,且异面直线AH和PC所成角的大小为π/3,求三棱锥P-ABC的体积

Question

已知三棱锥P-ABC的底面是边长为2的正三角形,PA⊥底面ABC,H是PB中点,且异面直线AH和PC所成角的大小为π/3,求三棱锥P-ABC的体积

Answer 1

取BC的中点D,连接HD、AD,则AD=√(AB^2-BD^2)=√3,
∵H是PB的中点,∴HD//PC且HD=1/2PC,
则异面直线AH和PC所成角就等于AH与HD所成的角,即∠AHD=π/3,
∵AH=1/2PB,PB=PC,
∴AH=HD,故△AHD是等边三角形,
∴PB=2AH=2AD=2√3,
PA=√(PB^2-AB^2)=2√2,
S△ABC=(1/2)×2×2×sin60°=√3
三棱锥P-ABC的体积V=(1/3)×S△ABC×PA=(1/3)×√3×2√2=2√6/3.