在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B、A1P（如图2）（Ⅰ

Question

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A ₁ EF的位置，使二面角A ₁ -EF-B成直二面角，连接A ₁ B、A ₁ P（如图2）


（Ⅰ）求证：A ₁ E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A ₁ E与平面A ₁ BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B-A ₁ P-F的大小（用反三角函数表示）．

Answer 1

解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3
（1）在图1中，取BE中点D，连接DF．AE：EB=CF：FA=1：2
∴AF=AD=2而∠A=60°，
∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，
∴EF⊥AD在图2中，A ₁ E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A ₁ EB为二面角A _1- EF-B的平面角．由
题设条件知此二面角为直二面角，A ₁ E⊥BE，又BE∩EF=E（2）
∴A ₁ E⊥平面BEF，
即A ₁ E⊥平面BEP



（3）在图2中，A ₁ E不垂直A ₁ B，
∴A ₁ E是平面A ₁ BP的垂线，又A ₁ E⊥平面BEP，
∴A ₁ E⊥BE．
从而BP垂直于A ₁ E在平面A ₁ BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A ₁ E在平面A ₁ BP内的射影为A ₁ Q，且A ₁ Q交BP于点Q，则∠E ₁ AQ就是A ₁ E与平面A ₁ BP所成的角，且BP⊥A ₁ Q．
在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°，
∴△EBP是等边三角形．又A ₁ E⊥平面BEP，
∴A ₁ B=A ₁ P，
∴Q为BP的中点，且 EQ=

3

，又A ₁ E=1，
在Rt△A ₁ EQ中， tan∠E A 1 Q=(EQ)/(A1 E) =

3

，
∴∠EA ₁ Q=60°，
∴直线A ₁ E与平面A ₁ BP所成的角为60°



在图3中，过F作FM⊥A ₁ P与M，连接QM，QF，
∵CP=CF=1，∠C=60°，
∴△FCP是正三角形，
∴PF=1．有 PQ=(1)/(2) BP=1
∴PF=PQ①，
∵A ₁ E⊥平面BEP， EQ=EF=

3

∴A ₁ E=A ₁ Q，
∴△A ₁ FP≌△A ₁ QP从而∠A ₁ PF=∠A ₁ PQ②，
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
从而∠FMQ为二面角B-A ₁ P-F的平面角．
在Rt△A ₁ QP中，A ₁ Q=A ₁ F=2，PQ=1，又∴ A 1 P=

5

．
∵MQ⊥A ₁ P，∴ MQ=(A1 Q•PQ)/(A1 P) =(25)/(5)
∴ MF=(25)/(5)
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得 QF=

3

在△FMQ中， cos∠FMQ=(M F2 +M Q2 -Q F2)/(2MF•MQ) =-(7)/(8)
∴二面角B-A ₁ P-F的大小为 π-arccos(7)/(8)