已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M(35，65)．（1）求圆C的标准方程；（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线m与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若|PN|2+|QN|2=24，

Question

已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M((3)/(5)，(6)/(5))．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线m与圆C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，若|PN|²+|QN|²=24，求直线m的方程．

Answer 1

（1）设圆C的标准方程为（x-a）²+y²=r²，
则

(|4a-6|)/(5)=r

((6)/(5))/((3)/(5)-a)=(3)/(4)

，解得a=-1，r=2，
∴圆C的标准方程为：（x+1）²+y²=4．
（2）设直线m的方程为y=kx，（k>0），
代入圆C的方程得（x+1）²+k²x²-4=0，即（1+k²）x²+2x-3=0，
∴x₁+x₂=(-2)/(1+k2)，y₁+y₂=k（x₁+x₂）=(-2k)/(1+k2)，
∴|PN|²=（x₁-2）²+（y₁-1）²=x₁²+y₁²-4x₁-2y₁+5=3-2x₁-4x₁-2y₁+5=-6x₁-2y₁+8，
|QN|²=（x₂-2）²+（y₂-1）²=x₂²+y₂²-4x₂-2y₂+5=3-2x₂-4x₂-2y₂+5=-6x₂-2y₂+8，
∴|PN|²+|QN|²=-6（x₁+x₂）-2（y₁+y₂）+16=(12)/(1+k2)+(4k)/(1+k2)+16=24，
解得k=1或k=-(1)/(2)（舍）．
∴直线m的方程为：y=x．