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定义:若平面点集A中的任一个点(x0,y0),总存在正实数r,使得集合B={(x,y)|(x−x0)2+(y−y0)2<r}⊆A,则称A为一个开集,给出下列集合:①{(x,y)|x2+y2=1};②{(x,y|x+y+2>0)}
题目详情
定义:若平面点集A中的任一个点(x0,y0),总存在正实数r,使得集合B={(x,y)|
<r}⊆A,则称A为一个开集,给出下列集合:
①{(x,y)|x2+y2=1};
②{(x,y|x+y+2>0)};
③{(x,y)||x+y|≤6};
④{(x,y)|0<x2+(y−
)2<1}.
其中是开集的是 ___ .(请写出所有符合条件的序号)
(x−x0)2+(y−y0)2 |
①{(x,y)|x2+y2=1};
②{(x,y|x+y+2>0)};
③{(x,y)||x+y|≤6};
④{(x,y)|0<x2+(y−
2 |
其中是开集的是 ___ .(请写出所有符合条件的序号)
▼优质解答
答案和解析
①:A={(x,y)|x2+y2=1}表示以原点为圆心,1为半径的圆,则在该圆上任意取点(x0,y0),以任意正实数r为半径的圆面,均不满足B={(x,y)|
<r}⊆A,
故①不是开集;
②A={(x,y)|x+y+2>0}平面点集A中的任一点(x0,y0),则该点到直线的距离为d,取r=d,则满足B={(x,y)|
<r}⊆A,
故该集合是开集;
③A={(x,y)||x+y|≤6},在曲线|x+y|=6任意取点(x0,y0),以任意正实数r为半径的圆面,B={(x,y)|
<r}⊆A,故该集合不是开集;
④{(x,y)|0<x2+(y-
)2<1}表示以点(0,
) 为圆心,1为半径除去圆心和圆周的圆面,在该平面点集A中的任一点(x0,y0),则该点到圆周上的点的最短距离为d,取r=d,则满足B={(x,y)|
<r}⊆A,故该集合是开集;
即是开集的只有:②④.
故答案为:②④.
(x-x0)2+(y-y0)2 |
故①不是开集;
②A={(x,y)|x+y+2>0}平面点集A中的任一点(x0,y0),则该点到直线的距离为d,取r=d,则满足B={(x,y)|
(x-x0)2+(y-y0)2 |
故该集合是开集;
③A={(x,y)||x+y|≤6},在曲线|x+y|=6任意取点(x0,y0),以任意正实数r为半径的圆面,B={(x,y)|
(x-x0)2+(y-y0)2 |
④{(x,y)|0<x2+(y-
2 |
2 |
(x-x0)2+(y-y0)2 |
即是开集的只有:②④.
故答案为:②④.
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