设二次函数f(x)满足f(x2)=f(x2),且图像在y轴上的截距为1,被x轴截得的线段长为二根号二,求f(x)的解析式?“”这个是减号或负号

Question

设二次函数f(x)满足f(x_2)=f(_x_2),且图像在y轴上的截距为1,被x轴截得的线段长为二根号二,求f(x)的解析式?“_”这个是减号或负号

Answer 1

既然是二次函数,设为f(x)=ax^2+bx+c.（a!=0） (!=表示＂不等于＂) 根据题意可列出方程:(1)在y轴上的截距为1,即x=0时,f(x)=ax^2+bx+c=a*0+b*0+c ＝c =1,则:c=1()(实际上对截距的概念熟悉的话很容易知道在y轴上的截距就为c) (2)被x截得的线段长为2√2可以看作相对应的方程的两根差为2√2,可以列方程：x2-x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a-[-b-√(b^2-4ac)]/2a =√(b^2-4ac)]/a=2√2 （显然a>0） 为了计算方便,先把c=1代入式子再化简单,(b^2-4a)/a^2=8.(1) (3)二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),那么：a（x-２）^2+b（x-２）+c＝a（-x-２）^2+b（-x-２）+c,化简,ax^2-4ax+4a+b（x-２）+c=ax^2+4ax+4a+b（-x-２）+c 即8ax=2bx,因为此式子恒等,不论x=0否,那么 b=4a,将b=4a代入式子（１） (4a)^2-4a=8a^2,即8a^2－４a=0,得到a=1/2或a=0,显然a!=0(二次函数所以a不等于０),那么b=2,a=1/2,b=2,c=1,f(x)=1/2x^2+2x+1.