已知幂函数f(x)＝x−12p2+p+32（p∈N）在（0，+∞）上是增函数，且在定义域上是偶函数．（1）求p的值，并写出相应的f（x）的解析式；（2）对于（1）中求得的函数f（x），设函数g（x）=-qf[f（

Question

已知幂函数f(x)＝x−(1)/(2)p2+p+(3)/(2)（p∈N）在（0，+∞）上是增函数，且在定义域上是偶函数．
（1）求p的值，并写出相应的f（x）的解析式；
（2）对于（1）中求得的函数f（x），设函数g（x）=-qf[f（x）]+（2q-1）f（x）+1，问：是否存在实数q（q＜0），使得g（x）在区间（-∞，-4]上是减函数，且在区间（-4，0）（10）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为函数在（0，+∞）上是增函数得：
∴−(1)/(2)p²+p+(3)/(2)＞0，解得-1＜p＜3
 又因为p∈N
则p=0，2
函数为f(x)＝x(3)/(2)不为偶函数
则p=1．
故f（x）=x²．
（2）存在．
可设x²=t
则函数g（x）=-qf（x）+（2q-1）x²+1=-qt²+（2q-1）t+1，t≥0，
得其对称轴为t=(2q−1)/(2q)  又q＜0，所以抛物线开口向上，
g（x）在区间（-∞，-4）上是减函数，且在（-4，0）上是增函数
所以t必须在区间（16，+∞）上是减函数，且在（0，16）上是增函数
又t=x²本身是增函数，那么对称轴要等于16
即(2q−1)/(2q)=16   解得q=-(1)/(30)
满足（q＜0）的条件． 
所以存在实数q（q＜0），使得g（x）在区间（-∞，-4]上是减函数，且在区间（-4，0）（10）上是增函数．