设函数f（x）=x-1x，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Question

设函数f（x）=x-(1)/(x)，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

∵f′（x）=1+(1)/(x2)＞0，
∴函数f（x）=x-(1)/(x)在（-∞，0），（0，+∞）上为增函数且m≠0，
若m＞0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意；
当m＜0时，有mx-(1)/(mx)+mx-(m)/(x)＜0⇒2mx-(m+(1)/(m))•(1)/(x)＜0⇒1+(1)/(m2)＜2x2，
∵y=2x²在x∈[1，+∞）上的最小值为2，
∴1+(1)/(m2)＜2，即m²＞1，解得m＜-1，
∴实数m的取值范围为m＜-1．