在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosαy=sinα（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）若A，B为曲线C1，C2的

Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=1+cosα

y=sinα

（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（Ⅰ）若A，B为曲线C₁，C₂的公共点，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）若A，B分别为曲线C₁，C₂上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．

Answer 1

（Ⅰ）消去参数α得曲线C₁的普通方程C₁：x²+y²-2x=0．…（1）
将曲线C₂：ρ=4sinθ化为直角坐标方程得x²+y²-4y=0．…（2）
由（1）-（2）得4y-2x=0，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为(1)/(2)；
（Ⅱ）由C₁：（x-1）²+y²=1知曲线C₁是以C₁（1，0）为圆心，半径为1的圆，
由C₂：x²+（y-2）²=4知曲线C₂：是以C₂（0，2）为圆心，半径为2的圆．
∵|AB|≤|AC₁|+|C₁C₂|+|BC₂|，
∴当|AB|取最大值时，圆心C₁，C₂在直线AB上，
∴直线AB（即直线C₁C₂）的方程为：2x+y=2．
∵O到直线AB的距离为d=(2)/(√(5))=(2)/(5)√(5)，
又此时|AB|=|C₁C₂|+1+2=3+√(5)，
∴△AOB的面积为S=(1)/(2)•(2)/(5)√(5)•(3+√(5))=(3√(5))/(5)+1．