对数函数f(x)=log[4^(x)+1]+kx(k属于R)是偶函数（1）求k（2）证明：对任意实数b,函数y=f(x）的图像与直线y=（1/2）x+b最多只有一个交点.题有点难度以免浪费分数诚信至上是log底数是4真数是[4^(

Question

对数函数
f(x)=log[4^(x)+1]+kx (k属于R)是偶函数 （1）求k （2）证明：对任意实数b,函数y=f(x）的图像与直线y=（1/2）x+b最多只有一个交点.
题有点难度 以免浪费分数 诚信至上
是log底数是4 真数是[4^(x)+1] 后面的是+kx

Answer 1

1.
log(4)[4^(-x)+1]-kx=log(4)[4^x+1]+kx
log(4)[1/4^(x)+1]-kx=log(4)[4^x+1]+kx
log(4)[(4^x+1)/4^(x)]-kx=log(4)[4^x+1]+kx
log(4)[4^x+1]-x-kx=log(4)[4^x+1]+kx
那么,-1-k=k
k=-1/2
2.
因为是偶函数
所以f(x)=f(-x)=log(4)[4^(-x)+1]+(1/2)x
若y=f(x）的图像与直线y=（1/2）x+b最多只有一个交点
则log(4)[4^(-x)+1]+(1/2)x=（1/2）x+b有一个解
那么
log(4)[4^(-x)+1]=b
log(4)[4^(-x)+1]=log(4)(4^b)
4^(-x)+1=4^b
当b>0时,方程有一个解
当b≤0时,方程无解
故对任意实数b,函数y=f(x）的图像与直线y=（1/2）x+b最多只有一个交点.