已知二次函数y=x^2-kx+k-5.①、试证：不论K为何实数,此函数图像与x轴有两个交点；②、若此函数图像的对称轴是x=1,求此二次函数表达式；③、设②问中函数图像与x轴分别交于A、B,与y轴交于

Question

已知二次函数y=x^2-kx+k-5.①、试证：不论K为何实数,此函数图像与x轴有两个交点； ②、若此函数图像的对称轴是x=1,求此二次函数表达式； ③、设②问中函数图像与x轴分别交于A、B,与y轴交于点C,点D在第四象限内的此函数图像上,且OD⊥BC于H,求D点的坐标.

Answer 1

（1）y=x^2-kx+k-5.
∴△=(-k)²-4(k-5)=k²-4k+20=(k-2)²+16>0；
∴ 不论K为何实数,此函数图像与x轴有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1,
∴ k/2=1
∴ k=2
∴二次函数的表达式为y=x²-2x-3．
（3）函数解析式为y=x²-2x-3．
x²-2x-3=0
∴ (x-3)(x+1)=0
∴ x=3或x=-1
∴函数图象与x轴的交点坐标为A（-1,0）、B（3,0）；
又与y轴的交点C的坐标为（0,-3）；
可以求得BC的斜率为1；
∵ OD⊥BC
∴ OD的斜率是-1
设D的坐标为（x,x²-2x-3）,
∴ x²-2x-3=-x
∴ x²-x-3=0
∴ x=(1±√13)/2
∵ D在第四象限
∴ x=(1+√13)/2
∴ D的坐标是（(1+√13)/2 ,-(1+√13)/2 ）