若f(x)=a^x,则f'(x)=a^xlna,如何推导?顺便说下对数的那个推导

Question

若f(x)=a^x,则f'(x)=a^xlna,如何推导?顺便说下对数的那个推导

Answer 1

高中的导数公式不都是需要推导的,
因为有些步骤涉及到高数知识
f'(x) = lim [ f(x+Δx) - f(x) ] / Δx
= lim [ a^(x+Δx) - a^x ] / Δx
= a^x lim (a^Δx -1) / Δx
= a^x lim t / [ln(t+1) / lna] 【令t=a^Δx -1,Δx = ln(t+1) / lna】
= a^x lna lim t / ln(t+1)
= a^x lna 【∵t和ln(t+1)是等价无穷小∴lim t / ln(t+1) =1】
f(x)=lnx 的导数推导我就不做了
其中会用到公式 lim (1+t)^(1/t) = e 【e是自然对数的底数】