已知k为实数，对于实数a和b定义运算“*”：a*b=a2-kab，a≤bb2-kab，a>b，设f（x）=（2x-1）*（x-1）．（Ⅰ）若f（x）在[-12，12]上为增函数，求实数k的取值范围；（Ⅱ）已知k>12，且当x>0时

Question

已知k为实数，对于实数a和b定义运算“*”：a*b=

a2-kab，a≤b

b2-kab，a>b

，设f（x）=（2x-1）*（x-1）．
（Ⅰ）若f（x）在[-(1)/(2)，(1)/(2)]上为增函数，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）已知k>(1)/(2)，且当x>0时，f（f（x））>0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=（2x-1）*（x-1）
=

2(2-k)x2+(3k-4)x+1-k，x≤0

(1-2k)x2+(3k-2)x+1-k，x>0

，
若f（x）在[-(1)/(2)，(1)/(2)]上为增函数，
则当-(1)/(2)≤x≤0时，f（x）的导数4（2-k）x+3k-4≥0恒成立，
当0<x≤(1)/(2)时，f（x）的导数2（1-2k）x+3k-2≥0恒成立．
即有

-2(2-k)+3k-4≥0

3k-4≥0

1-2k+3k-2≥0

3k-2≥0

即为

k≥(8)/(5)

k≥(4)/(3)

k≥1

k≥(2)/(3)

，
解得k≥(8)/(5)；
（Ⅱ）由k>(1)/(2)，且当x>0时，
当x=1时，f（1）=1-2k+3k-2+1-k=0，
f（0）=1-k，
当k≥1时，f（0）≤0，
由当x>0时，f（f（x））>0恒成立，
则k≤1．
当(1)/(2)<k<1时，当f（x）≤0时，抛物线开口向上，且f（x）>f（0）=1-k，
均有f（f（x））>f（1-k）>0，
当f（x）>0，则抛物线开口向下，且f（x）<f（0）=1-k，
均有f（f（x））>f（1-k）>0．
则有k的取值范围为（(1)/(2)，1]．