定义g（x）=f（x）-x的零点x0为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0）．（1）当a=1，b=-2时，求函数的不动点；（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数

Question

定义g（x）=f（x）-x的零点x₀为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数的不动点；
（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）只有一个零点且b>1，求实数a的最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²-x-3

x2-x-3-x=0，

x=3或-1

函数f（x）的不动点为3，-1；…（3分）
（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，
则对于任意实数b，f（x）-x=0恒有两个不等的实数根
∴ax²+bx+b-1=0，△>0恒成立，
∴b²-4a（b-1）>0，
∴b²-4ab+4a>0对任意实数b都成立，
∴△=16a²-16a<0，
∴0<a<1…（8分）；
（3）g（x）=ax²+bx+b-1，函数g（x）只有一个零点，b>1
则△=0，
∴b²-4ab+4a=0，
∴4a=(b2)/(b-1)=（b-1）+(1)/(b-1)+2≥4，
当且仅当b=2时等号成立，
∵a≥1，
a的最小值为1．…（12分）